Lưới Tương
Giao
Hồng Dương
(I)
Mạng lưới ngẫu duyên.
Chắc ai cũng có lần chứng kiến một em bé ngồi khóc v́ đă lỡ tháo đồ chơi
ra từng bộ phận rồi sau đó không thể lắp lại nguyên vẹn như cũ. Hiện giờ,
các nhà khoa học cũng ở trong t́nh trạng giống hệt. Với trí sai biệt, suốt
ba thế kỷ qua, tốn hao vô kể tiền tài và công sức, họ tiếp tay nhau phân
xẻ vũ trụ thành mảnh, cuối cùng đến nay lâm vào ngơ cụt, không thấy manh
mối làm thế nào để tiến phát, ngoại trừ tiếp tục “đếm lên”, phân tán nhỏ
thêm các mảnh. Lực dẫn khởi mọi công tŕnh nghiên cứu khoa học trong thế kỷ 20 là nguyên
lư quy giảm (Principle of reductionism). Theo nguyên lư này, muốn thông
hiểu thiên nhiên thời phải khai phá các thành phần của thiên nhiên. Một
khi thấu đạt thành phần, thời nắm bắt toàn thể sẽ không gặp khó khăn. Bởi
thế nhiều thập niên qua quan điểm chung là muốn hiểu vũ trụ thời phải hiểu
nguyên tử và các siêu sợi (superstring); muốn hiểu sự sống thời phải hiểu
các phân tử; muốn hiểu tập tính con người thời phải hiểu các gen cá nhân.
Các hệ thống phương tŕnh vi phân tuyến tính của vật lư học cổ điển rất
thích hợp với phép phân tích và tổng hợp như vậy. Có thể phân chúng ra
từng phần, mỗi phần đem giải riêng biệt, cuối cùng hợp các lời giải riêng
biệt thời có lời giải chung. Do đó, một hệ tuyến tính hoàn toàn bằng tổng
các phần của nó. Kinh nghiệm cho thấy càng đếm lên, càng sai biệt, thời mức phức hợp
(complexity) càng gia tăng. Theo nghĩa toán học, phức hợp chẳng những có
nghĩa là phi tuyến tính mà c̣n có nghĩa bao gồm vô lượng phần tử biến
chuyển với nhiều số độ tự do (number of degrees of freedom). Nghĩa là,
không thể sử dụng hệ tuyến tính mà phải dùng hệ thống phương tŕnh vi phân
phi tuyến tính (c̣n gọi là hệ động lực; dynamical systems) để mô tả sự
tương tác giữa vô lượng phần tử của một hệ phức hợp. Toán học tánh phức
hợp là toán h́nh học về các mẫu h́nh được phân tích trong khung tôpô do
Poincaré khởi xướng, như quỹ đạo hấp dẫn kỳ dị (strange attractors), h́nh
thể biến lập (fractals), chân dung pha (phase portraits), ... Ngoài ra,
phải áp dụng cơ học thống kê (statistical mechanics) để tính phân bố xác
suất trong chuyển động của vô lượng phần tử v́ không thể mô tả đầy đủ chi
tiết sự vận chuyển của từng cá thể phần tử. Cơ học thống kê cho phép thành
lập những lư thuyết thâm sâu về trật tự thế giới vĩ mô, khám phá sự hiện
hữu những tính chất thiết yếu của các hệ thống phức hợp mà không cần t́m
hiểu chi tiết chính xác của những chuyển động ngẫu nhiên phức tạp và bất
quy tắc ở mức vi mô. Càng ngày càng đông khoa học gia công nhận không có hiện tượng hay biến cố
nào hiện khởi độc lập riêng biệt. Họ khám phá nguồn gốc phát sinh tánh
phức hợp chính là mạng lưới gồm các giao liên nối kết và quan hệ nhân quả
giữa tất cả mọi sự mọi vật trong vũ trụ. Do đó họ tin rằng mạng lưới phức
hợp có một cấu trúc rất chính xác và tề chỉnh cần được nghiên cứu tường
tận v́ liên quan mật thiết và ảnh hưởng sâu xa đời sống con người. Con
người cùng với mọi sự mọi vật là những mắt lưới vừa là thành quả tác dụng
của hết thảy các mắt lưới khác, vừa là nhân hữu lực dự phần cấu tạo, bồi
dưỡng, phát triển, và vận chuyển toàn thể mạng lưới. Trong những năm gần đây, nhờ sử dụng toán học biểu tượng những mạng lưới
trừu xuất từ pháp giới trùng trùng duyên khởi, nhiều định luật toán học và
nhiều mẫu h́nh có ư nghĩa được khám phá trong thế giới hiện tượng và trong
các sinh hoạt xă hội. Do toán học, các nhà xă hội học, vật lư học, sinh
học, và nhiều khoa học gia khác t́m thấy nhiều quan hệ bất ngờ giữa những
sinh hoạt xă hội và tác dụng của nhiều hiện tượng tưởng như không liên can
nhau: từ tế bào sống và hệ sinh thái toàn cầu (global ecosystems) đến
Internet và năo bộ người. Sự nhận biết những quan hệ này thuần túy phát
xuất từ toán học mạng lưới, soi sáng một số vấn đề bấy lâu chưa được giải
quyết trong nhiều ngành khoa học kể cả tâm lư học và xă hội học. Toán gia Leonhard Euler được xem như là người khởi xướng toán học mạng
lưới vào năm 1736, khi ông chứng minh không thể có một con đường chạy qua
bảy chiếc cầu, mỗi cầu chỉ một lần, trên sông Pregel, thành phố
Konigsberg. Một biểu đồ ông phác họa kèm theo phần luận chứng đă làm phát
khởi cả một ngành toán học rộng lớn và rất quan trọng. Đó là thuyết biểu
đồ (graph theory), cốt lơi của thuyết mạng lưới hiện nay. Luận chứng của Euler tuy đơn giản và ưu mỹ, rất dễ hiểu ngay đối với người
không chuyên toán, nhưng chính cái lối nh́n của ông mới thực sự làm nên
lịch sử. Đối với ông, vùng bảy chiếc cầu ở Konigsberg hiện ra như một biểu
đồ (graph), nghĩa là một tập hợp gồm nút (nodes) nối lại với nhau bởi
những đường dây nối nút (links). Các nút biểu diễn bốn vùng đất bị sông chia cách, đặt tên là A, B, C, và
D. Các đường dây nối nút là những chiếc cầu nối kết các vùng ấy với nhau.
Lư do không có đường nào đi qua tất cả bảy chiếc cầu mỗi cầu chỉ một lần
là v́ nút nào có một số lẻ đường dây nối thời nút đó phải là điểm khởi đầu
hay điểm cuối cùng của hành tŕnh. Một con đường liên tục đi qua hết thảy
bảy chiếc cầu chỉ có thể có một điểm khởi đầu và một điểm cuối cùng. Như
thế, con đường này không thể hiện hữu trong một biểu đồ có nhiều hơn hai
nút với một số lẻ đường dây nối. V́ biểu đồ Konigsberg có bốn nút với một
số lẻ đường dây nối cho nên không thể t́m ra con đường nói trên. Nên lưu ư sự hiện hữu của con đường nói trên không tùy thuộc trí thông
minh suy lư của con người mà thật ra là một tính chất của biểu đồ. Với
cách bố trí các chiếc cầu như ở Konigsberg hồi đó, dẫu tài giỏi đến đâu ta
cũng không t́m ra được con đường nói trên. Dân chúng thành phố Konigsberg
đồng ư với Euler không c̣n thắc mắc về sự hiện hữu của một con đường như
vậy nữa và đến năm 1875 xây thêm một cầu mới nối liền B và C, gia tăng số
đường dây nối ở B và C lên thành bốn. Do đó chỉ c̣n lại hai nút, A và D,
với một số lẻ đường dây nối, trở thành điểm khởi đầu và điểm kết thúc một
hành tŕnh qua tám chiếc cầu, mỗi cầu chỉ đi qua một lần mà thôi. Tóm lại, câu chuyện trên chỉ cho thấy trong cấu trúc của các biểu đồ hay
mạng lưới ẩn khuất những tính chất mà tác dụng có thể hạn chế hay tăng gia
khả năng giao liên tác động của chúng ta với chúng. Cấu trúc luôn luôn ảnh
hưởng trên tác dụng, chẳng hạn địa h́nh các mạng lưới xă hội ảnh hưởng sự
loan truyền tin tức hay lan tràn các bịnh truyền nhiễm. Một trường hợp địa
h́nh mạng lưới các trạm phát điện ảnh hưởng đến tánh bền vững của sự
truyền dẫn điện: Ngày 10 tháng tám, 1996, một lỗi lầm trên hai đường dẫn
điện ở Oregon, Hoa kỳ, làm phát khởi một dăy hỏng máy điện qua các trạm
phát như ḍng thác đổ, tắt điện trong 11 tiểu bang ở Hoa kỳ và 2 tỉnh ở
Gia nă đại, hơn 7 triệu nhà không điện suốt 16 tiếng đồng hồ. Một thí dụ
khác về ảnh hưởng của cấu trúc mạng lưới trên tác dụng: Ngày 4 tháng năm,
2000, con sâu Love Bug, một chương tŕnh phá hoại máy tính tồi tệ nhất
chưa từng thấy, ḅ lan khắp thế giới qua Internet gây thiệt hại hàng tỉ Mỹ
kim.
Bởi thế nghiên cứu sự h́nh thành cấu trúc của mạng lưới là then chốt để
thông hiểu thế giới phức hợp quanh ta. Chỉ cần một vài thay đổi nhỏ trên
các nút hay đường dây nối nút cũng đủ phát khởi nhiều khả năng mới từ sau
những cánh cửa ẩn kín. Hiện nay hết thảy mọi ngành khoa học nghiên cứu hệ
thống phức hợp đă bắt đầu quan tâm khảo sát sự h́nh thành và biến chuyển
cấu trúc và động lực của các mạng lưới tương giao. Ban đầu, các nhà toán học chỉ chú tâm khám phá và sắp hạng các loại mạng
lưới. Thí dụ: các mạng do nguyên tử tạo thành trong một tinh thể hay các
mạng lục giác do ong thiết lập làm tổ là những mạng lưới có sắp đặt
(ordered graphs). Nhưng về sau, vấn đề đặt ra là các mạng hiện khởi như
thế nào? Những định luật nào qui định địa h́nh, tướng dạng, và cấu trúc
của chúng? Phải đợi đến thập niên giữa thế kỷ 20, các vấn đề ấy mới được
giải quyết lần đầu tiên do bởi công tŕnh xây dựng thuyết mạng lưới ngẫu
duyên (random networks) của hai nhà toán học Hungary, Paul Erdos và Alfréd
Rényi. Hăy tưởng tượng tổ chức một buổi tiệc gồm khoảng một trăm thực khách. Họ
được chọn và mời là v́ họ không quen biết bất kỳ ai trong danh sách những
người được mời dự tiệc. Khi rượu thịt dọn ra thời bầu không khí xa lạ giữa
họ đổi hẳn. Họ bắt đầu tṛ chuyện, làm quen với nhau. Không bao lâu, có
chừng từ ba mươi đến bốn mươi nhóm họp thành, mỗi nhóm gồm độ hai hay ba
người. Bây giờ đến kề tai một thực khách nói cho người này hay rằng rượu
chát đỏ đựng trong những chai màu lục đậm không dán nhăn hiệu là thứ rượu
rất quư và trăm lần ngon hơn rượu đựng trong những chai có dán nhăn hiệu
màu đỏ. Và yêu cầu vị thực khách đó truyền tin này đến chỉ những người mà
vị ấy mới làm quen mà thôi. Chớ vội nghĩ rằng làm như thế thời chỉ có thêm
hai hay ba người nữa biết tin rượu quư cất ở đâu. Thực ra, khách thường
chán nói chuyện với một người và hay di chuyển nhập vào nhóm khác. Có
những nối kết xă hội giữa hai thực khách vừa gặp nhau trước đó nay ở trong
hai nhóm khác nhau. Kết quả là nhiều đường dây rất tinh tế bắt đầu nối kết
những người đang c̣n xa lạ. Chẳng hạn, Ất chưa bao giờ gặp Giáp tuy cả
Giáp và Ất đều quen Bính, như vậy tức có đường dây nối kết Ất và Giáp qua
Bính. Nếu Ất biết cái tin về rượu quư thời bây giờ Giáp cũng có cơ may
biết đến, v́ do Bính nghe Ất nói rồi thuật lại. Với thời gian trôi qua,
các thực khách càng lúc càng vướng mắc nhau qua những nối kết không thể
xúc mạc tạo thành một mạng lưới quen biết tinh vi bao gồm một số khá lớn
thực khách. Giả thiết mỗi thực khách chuyển tin rượu quư cho tất cả những
người ḿnh mới quen, thử hỏi trước khi tan tiệc tin ấy có lan truyền khắp
đủ mọi người dự tiệc hay không? Theo Erdos và Rényi, chỉ cần ba mươi phút
là đủ thời giờ để h́nh thành một mạng lưới nối kết xă hội vô h́nh bao gồm
hết thảy thực khách của buổi tiệc. Nghĩa là, nếu mỗi thực khách làm quen
với ít nhất một người, thời trong thoáng chốc tất cả đều biết tin và t́m
đến cạn hết những chai rượu quư. Thực khách trong buổi tiệc là nút và mỗi gặp gỡ giữa hai thực khách là một
đường dây nối nút xă hội. Xuất hiện với một số nút kết nhau qua những
đường dây nối nút, mạng lưới quen biết là một biểu đồ. Để t́m hiểu bí ẩn
của những mạng lưới lẫn xen vào cuộc sống hằng ngày của chúng ta, các khoa
học gia t́m cách triển khai thuyết biểu đồ, thường gọi là thuyết mạng lưới
(network theory), đặt trọng tâm nghiên cứu vào những mẫu h́nh tương giao
tác dụng giữa những cá thể. Máy tính kết nhau qua dây điện thoại, phân tử
trong cơ thể kết nhau qua tác dụng sinh hóa, công ty và người tiêu thụ kết
nhau qua giao dịch, tế bào thần kinh kết nhau qua sợi trục (axon), máy
phát điện kết nhau qua đường dây cao thế, đảo kết nhau qua chiếc cầu, tất
cả là những thí dụ biểu đồ. Một nhà chuyên khảo mạng lưới khi nh́n vào bất
cứ hệ thống thành phần kết liên nào sẽ h́nh dung nó như là một mẫu h́nh
trừu tượng, một biểu đồ, gồm nút kết nhau qua những đường dây nối nút. Họ
không quan tâm đến gốc tích và thể tánh cá biệt của các nút mà chỉ chú
trọng đến mẫu h́nh và cấu trúc của mạng lưới các quan hệ, nhằm t́m cách
khám phá tánh đồng nhất của một số nhiều mạng lưới. Nói theo Phật giáo,
những mẫu h́nh và cấu trúc họ quán sát là những mạng trừu xuất từ mạng
lưới bao la pháp giới trùng trùng duyên khởi.
Vấn đề đơn giản hóa các mạng lưới thành những biểu đồ gặp nhiều khó khăn
thách đố. Tuy xă hội, Internet, tế bào, hay năo bộ tất cả đều có thể tượng
h́nh bằng biểu đồ, nhưng biểu đồ của chúng đâu có giống nhau! Khó mà tưởng
tượng một sự dung hợp giữa một bên là xă hội con người, trong đó sự làm
quen và t́m bạn là do phối hợp những cuộc gặp gỡ ngẫu nhiên với những
quyết định có ư thức, và một bên là tế bào, trong đó các định luật nhân
quả tất yếu hóa học và vật lư học chi phối hết thảy mọi tương tác phản ứng
giữa các phân tử. Chắc chắn có sự sai biệt giữa các qui luật cai quản cách
phối trí các đường dây nối nút trong những mạng lưới khác nhau. V́ mục
đích của mọi khảo sát khoa học là phát hiện cách giải thích đơn giản nhất
để cắt nghĩa những hiện tượng vô cùng phức tạp, cho nên các khoa học gia
nỗ lực phát minh một mô h́nh chung để miêu tả tất cả những mạng lưới phức
hợp khác nhau. Một lời giải toán học ưu mỹ miêu tả tất cả mọi biểu đồ phức hợp cùng trong
một khung ư niệm đă được Erdos và Rényi đề nghị. Nhận thấy các hệ thống
khác nhau tùy thuận những luật tắc dị biệt qui định sự h́nh thành cấu trúc
của chúng, Erdos và Rényi quyết định gạt bỏ mọi bất đồng và chọn một giả
thiết hết sức đơn giản là các nút nối kết nhau một cách ngẫu nhiên. Như
vậy dưới mắt của hai nhà toán học Hungary, biểu đồ và thế giới biểu tượng
đều có bản tính ngẫu nhiên, hoàn toàn ngược lại với quan điểm của Albert
Einstein (bạn thân của Erdos) cho rằng “Thượng đế không chơi súc sắc với
vũ trụ (God does not play dice with the universe).” Nói cách khác, mọi
mạng lưới trừu xuất từ pháp giới duyên khởi không h́nh thành do ngẫu
duyên, mà thường do một số định luật cơ bản xác định và điều khiển. Hăy trở lại câu chuyện buổi tiệc và t́m hiểu đặc tính của mạng lưới ngẫu
duyên. Ban đầu, biểu đồ gồm một số lớn nút cô lập. Sau đó các nút được nối
kết bởi những đường dây ngẫu duyên phỏng theo sự gặp gỡ t́nh cờ giữa các
thực khách. Khi một số đường dây nối kết được kẻ thêm, các nút sẽ kết
thành nhiều cặp. Tiếp tục thêm nữa thời không làm sao tránh khỏi nối kết
các cặp nút ấy lại với nhau tạo thành những quần tụ (cluster) tập trung
nhiều nút. Nếu kẻ thêm đến chừng mỗi nút có trung b́nh một đường dây nối,
thời đột nhiên hiện khởi một quần tụ khổng lồ duy nhất. Nghĩa là, hầu hết
mọi nút trở nên thành phần của một quần tụ đơn nhất, từ bất kỳ nút nào làm
khởi điểm ta có thể di chuyển đến một nút khác thông qua những đường dây
nối nút. Đó là lúc tin đồn về rượu quư có thể lọt đến tai của bất cứ thực
khách nào trong buổi tiệc. Hiện tượng đó là sự xuất khởi (emergence) một
bộ phận khổng lồ gồm đa số nút đối với các toán gia, là một sự ngấm lọc
(percolation) dẫn khởi một chuyển tiếp pha (phase transition) đối với các
nhà vật lư học, là sự h́nh thành một cộng đồng đối với các nhà xă hội học.
Mặc dầu ngành khác nhau đặt tên khác nhau, nhưng tất cả đồng ư rằng khi
chọn ngẫu nhiên nút trong một mạng lưới để nối kết thành cặp thời một biến
chuyển lớn đột khởi khi số đường dây nối kết đạt trị tới hạn. Trước đó,
các nút nối kết họp thành quần tụ nhỏ cô lập, thực khách gặp gỡ quen biết
trong ṿng nhóm nhỏ rời rạc. Sau đó, xuất hiện một quần tụ khổng lồ với sự
tham dự của hầu hết thực khách. Mỗi người trên quả đất là thành phần của một mạng lưới rộng lớn, mạng lưới
xă hội thế giới hay mạng lưới nhân loại. Không một ai bị gạt bỏ ra ngoài.
Giữa hai người bất cứ ở đâu trên quả đất dẫu không quen biết nhau vẫn có
một đường dây nối kết họ lại với nhau. Cũng vậy, có một đường dây nối kết
bất cứ hai neuron (tế bào thần kinh) nào trong năo bộ, bất cứ hai công ty
nào trên thế giới, bất cứ hai hóa chất nào trong thân thể con người. Paul
Erdos và Alfréd Rényi giải thích điều kiện nối kết với bất cứ nút nào khác
trong mạng là mỗi và mọi nút chỉ cần có một đường dây nối. Cá nhân làm
quen ít nhất một người, neuron có ít nhất một đường dây nối với một neuron
khác, hóa chất có khả năng tham gia ít nhất một phản ứng trong thân thể
con người, công ty giao dịch với ít nhất một công ty khác. Một là ngưỡng
(threshold) nối kết. Toàn mạng sẽ phân tán thành nhiều quần tụ nhỏ rời
nhau nếu các nút có trung b́nh ít thua một đường dây nối; nếu có trung
b́nh nhiều hơn một đường dây nối thời cơ nguy mạng lưới phân tán có thể
tránh được. Trong thực tế, các nút thường có nhiều hơn một đường dây nối. Các nhà xă
hội học ước lượng mỗi chúng ta quen biết tên họ độ chừng từ 200 đến 5 000
người. Trung b́nh một neuron nối kết với hàng tá, có khi với cả ngàn
neuron khác. Mỗi công ty nối kết với hàng trăm hăng cung cấp và khách
hàng, nhiều công ty lớn nối kết với hàng triệu. Trong thân thể con người,
hầu hết các phân tử tham gia một số rất nhiều phản ứng, như nước chẳng
hạn, tham gia đến hàng trăm phản ứng. Theo thuyết mạng lưới ngẫu duyên khi
số trung b́nh đường dây nối của mỗi nút tăng quá trị tới hạn, số nút bị
gạt bỏ ra ngoài quần tụ khổng lồ sẽ giảm bớt theo hàm số mũ. Nghĩa là,
thêm càng nhiều đường dây nối thời càng khó t́m ra những nút cô lập. Như
thế các mạng lưới quanh ta rất dày đặc, không nút nào thoát khỏi, trong đó
mỗi nút nối kết với mọi nút. Trước Erdos và Rényi, tiêu điểm của thuyết biểu đồ không phải là các buổi
tiệc, các mạng xă hội, hay các mạng lưới ngẫu duyên, mà hoàn toàn là các
biểu đồ tuần quy (regular graphs; ordered graphs; biểu đồ có sắp đặt) có
cấu trúc xác định. Đặc tính của biểu đồ tuần quy là nút nào cũng có một số
đường dây nối kết giống nhau. Thí dụ trong một mạng lưới phẳng ô vuông do
các đường trực giao tạo thành, nút nào cũng có bốn đường dây nối. Hoặc
trong mạng lưới lục giác tổ ong, nút nào cũng có ba đường dây nối. Tánh
tuần quy đó không t́m thấy trong những mạng phức hợp hiện hữu như Internet
hay tế bào.
Erdos và Rényi là những người đầu tiên khám phá, từ những mạng lưới xă hội
đến những mạng dây điện thoại, hầu hết những biểu đồ trong thực tế đều
không có tánh tuần quy và vô cùng phức tạp. Đứng trước bức tường phức hợp
khó vượt qua, hai ông thấy chỉ có cách duy nhất là giả thiết mạng lưới
h́nh thành ngẫu nhiên. Hai ông mở rộng cửa toán học cho thấy một thế giới
mới, một thế giới b́nh đẳng. V́ các đường dây được thiết lập hoàn toàn
ngẫu nhiên, nên mọi nút có cơ hội đồng đều tiếp nhận một đường nối. Tuy
nhiên, chớ tưởng lầm do ngẫu duyên mà có nút tiếp nhận rất nhiều đường dây
nối và có nút quá rủi ro không tiếp nhận được đường nối nào cả. Cái thế
giới ngẫu duyên hai ông đề xướng tuồng như có tính cách vừa bất công vừa
độ lượng. Thật ra không phải vậy. Nếu là một mạng lưới rộng lớn thời mặc
dầu các đường dây nối thiết lập ngẫu nhiên, nút nào cũng tiếp nhận một số
xấp xỉ như nhau. Để thấy được điều đó, hăy phỏng vấn các thực khách sau buổi tiệc, hỏi mỗi
thực khách làm quen được bao nhiêu người tất cả. Rồi vẽ một tuyến đồ
(histogram) biểu diễn bao nhiêu thực khách làm quen k (k=1, 2, ... ) người
trong suốt buổi tiệc. Mô dạng của tuyến đồ được chứng minh là một phân bố Poisson [do Béla
Bollobhás, một môn sinh của Erdos, giáo sư tại Đại học Trinity College,
Anh quốc, 1982]. Nghĩa là có một chóp đỉnh nổi bật chỉ cho thấy đa số nút
đều tiếp nhận một số đường nối gần bằng số đường nối của nút trung b́nh.
Hai bên chóp đỉnh, sự phân bố giảm xuống rất nhanh, cho thấy không có
nhiều nút lệch xa nút trung b́nh. Nếu áp dụng phân bố Poisson vào một xă hội 6 tỉ người thời kết quả là số
bạn bè quen thuộc của mỗi người trong đa số chúng ta xấp xỉ bằng nhau. Như
vậy, nếu ghép ngẫu nhiên những đường dây nối kết xă hội, thuyết mạng lưới
ngẫu duyên dự đoán tiến tới một xă hội “dân chủ” trong đó tất cả chúng ta
ai cũng là trung b́nh và rất ít kẻ lệch xa chuẩn (norm) để trở thành quá
xă giao hay vô cùng cô lánh. Mạng lưới ngẫu duyên, một mạng lưới tương
đồng với trung b́nh là chuẩn, quả là một mạng tương giao lư tưởng.
Măi đến gần đây để mô tả vũ trụ các tương giao, hầu hết toán gia không t́m
thấy cách ǵ khác hơn là đồng ư với Erdos và Rényi giả thiết các mạng phức
hợp h́nh thành trên cơ sở ngẫu duyên: các mạng phức hợp là những mạng lưới
ngẫu duyên. Thuyết mạng lưới ngẫu duyên được xem như phát minh vào năm
1959 khi Paul Erdos đề nghị lời giải bài toán rất nổi tiếng của thuyết
biểu đồ, bài toán t́m số đường dây nối bé nhất nối kết các nút của một
biểu đồ để bất kỳ hai nút nào cũng được nối nhau. Tưởng cần nhắc lại đây một số định nghĩa và kết quả quan trọng của toán
mạng lưới. Toán mạng lưới sử dụng tỉ số m/N để tiêu biểu một mạng lưới gồm
N nút và m đường dây nối, mỗi đường nối hai nút. Số đường dây nối dính vào
một nút gọi là độ của nút ấy. Để tính mỗi nút trung b́nh có bao nhiêu
đường dây nối, hăy cọng độ của tất cả nút, rồi đem chia cho tổng số nút kể
cả những nút không có đường dây nối. Gọi k là số trung b́nh đường dây nối
tại mỗi nút, ta có k = 2m/N; k gọi là độ trung b́nh. Erdos và Rényi chứng
minh một định lư nổi tiếng nay được gọi là định lư Erdos-Rényi: “Xác suất
xuất hiện của một bộ phận khổng lồ đơn nhất gồm hầu hết mọi nút của mạng
nhảy vọt từ 0 đến 1 khi tăng tỉ số tiêu biểu m/N quá trị tới hạn 0.5.” Tại
điểm này, k = 1. Theo Erdos và Rényi, k = 1 là ngưỡng nối kết, nghĩa là
mỗi và mọi nút chỉ cần có 1 đường dây nối thời sẽ nối với bất kỳ nút nào
khác trong mạng. Một dạng khác của định lư Erdos-Rényi: “Khi số đường dây
nối ngẫu nhiên m lớn hơn hay bằng (N/2)ln(N) với ln(N) là logarit tự nhiên
của N, hay k ³ ln(N), thời “hầu hết mọi” mạng lưới ngẫu duyên đều hoàn
toàn nối kết.” Giả thiết biểu đồ có 50 nút, mỗi nút là một thành phố chẳng hạn. Nếu không
tính toán, nhắm mắt nối mỗi thành phố với 49 thành phố kia thời phải xây 1
225 đường. Nhưng theo Erdos, nếu nối một cách ngẫu nhiên thời chỉ cần xây
độ chừng 98 đường, nghĩa là 8 phần trăm số 1 225 đường, là đủ để nối kết
hầu hết các thành phố với nhau. Erdos khám phá số nút dẫu lớn bao nhiêu,
chỉ cần một tỷ lệ phần trăm nhỏ các đường dây nối ngẫu nhiên cũng đủ thắt
nối kết hợp mạng lưới thành một toàn thể. Tỷ lệ phần trăm ấy giảm thiểu
rất nhanh khi mạng lưới bành trướng rộng lớn thêm. [Công thức toán của tỷ
lệ ấy là ln(N)/N]. Thí dụ: với 300 nút, trong số gần 50 000 đường có thể
nối chúng, chỉ cần 2 phần trăm là đủ. Với 1 000 nút, tỷ lệ ấy bé thua 1
phần trăm. Với 10 triệu nút, tỷ lệ là 0.0000016.
Trở lại với mạng lưới xă hội 6 tỉ người trên mặt đất, thử hỏi số bạn bè
quen thuộc của mỗi người trung b́nh là bao nhiêu để hai người, bất kỳ là
ai, bất cứ ở đâu, một làm nghề đánh cá ở Bắc cực, một làm thủ tướng ở Úc
chẳng hạn, nối kết nhau? Theo Erdos và Rényi, tỷ lệ là 4 phần tỉ. Nghĩa
là, trung b́nh mỗi người chỉ cần quen biết 24 người là đủ để bất kỳ hai
người nào trên mặt đất nối kết nhau. Sau đây là một thí nghiệm mô phỏng bài toán mạng lưới ngẫu duyên của Erdos
và Rényi. Tưởng tượng vung văi một số nút áo trên nền nhà. Chọn một cách
ngẫu nhiên hai nút và nối chúng bằng một sợi dây. Lại chọn ngẫu nhiên hai
nút nữa và nối chúng bằng một sợi dây khác. Lúc đầu những nút được chọn
không thuộc cặp nào đă nối trước đó. Nhưng về sau thế nào cũng chọn nhằm
một nút đă kết cặp để nối vào một nút khác, tạo thành một quần tụ ba nút.
Nếu tiếp tục nối các cặp nút ngẫu nhiên như thế, thời một lúc sau, các nút
nối với nhau bắt đầu trở thành một quần tụ rộng lớn. Trong thời gian thí
nghiệm, lâu lâu thử nhấc lên một nút bất kỳ và đếm xem có bao nhiêu nút
khác cùng nhấc theo. Tất cả nút cùng nhấc theo đó tạo thành cái gọi là một
bộ phận của mạng lưới ngẫu duyên. Cuối cùng, có những nút không nối với
nút nào, trong khi số lớn nối thành cặp, thành bộ ba, hay quần tụ lớn. Khi tỉ số tiêu biểu vượt quá 0.5 thời một chuyển tiếp pha phát khởi, một
quần tụ khổng lồ đột nhiên xuất hiện. Chẳng hạn, nếu số nút n=10 000, bộ
phận khổng lồ sẽ đột khởi khi số đường dây nối đạt mức vào khoảng m=5 000.
Lúc bộ phận khổng lồ phát hiện, hầu hết mọi nút hoặc trực tiếp hoặc gián
tiếp nối lại với nhau. Nếu nhấc lên một nút, sẽ có cơ may nhấc theo một
loạt độ chừng 8 000 trong số 10 000 nút. Số đường dây nối càng tăng thời
số nút lẻ loi c̣n lại và số quần tụ riêng biệt càng giảm thiểu v́ nối nhau
sáp nhập và bành trướng bộ phận khổng lồ.
Trên đây là đường biểu diễn chuyển tiếp pha của một mạng lưới ngẫu duyên
có 400 nút. Đường có dạng chữ S. Số nút trong quần tụ lớn nhất lúc đầu
tăng chậm, rồi tăng rất nhanh, rồi tăng chậm lại, tương ứng với sự tăng
của tỉ số tiêu biểu m/n. Sự tăng rất nhanh là dấu chỉ của hiện tượng
chuyển tiếp pha. Đường biểu diễn vọt cao lên với độ giốc gần thẳng đứng
khi tỉ số tiêu biểu vượt qua trị 0.5. Độ giốc đứng tại trị tới hạn 0.5 tùy
thuộc tổng số nút của mạng lưới. Khi số nút bé thời phần giốc đứng của
đường biểu diễn “cạn”, nhưng khi số nút tăng, chẳng hạn từ 400 đến 100
triệu, thời phần giốc đứng dựng đứng thẳng hơn. Ví như số nút tăng đến vô
cực, thời khi tỉ số tiêu biểu vượt qua trị tới hạn 0.5, độ lớn của bộ phận
lớn nhất của mạng lưới nhảy vọt một cách gián đoạn từ bé tí đến khổng lồ.
Hiện tượng đột khởi được xem như là một chuyển tiếp pha, giống trường hợp
vô lượng phân tử nước đột nhiên đóng băng thành nước đá khi nhiệt độ vừa
giảm thấp dưới 0 độ bách phân. Định lư Erdos-Rényi hết sức lợi ích trong sự t́m hiểu và chế ngự các hiện
tượng phức hợp như tánh bền vững của hệ sinh thái, động lực tính của thị
trường, và tổ chức phản ứng của hệ miễn dịch. Kết quả quan trọng của định
lư là khi tỉ số tiêu biểu m/n vượt quá 0.5, rất nhiều nút bỗng nhiên được
nối với nhau tạo thành một mạng rộng lớn trong hệ thống. Sự đột khởi một
bộ phận khổng lồ như vậy không có ǵ là huyền bí mà chỉ là một tính chất
tự nhiên và tất yếu của mạng lưới ngẫu duyên. Theo Stuart Kaufman, nhà
nghiên cứu nổi tiếng về nguồn gốc của sự sống, mẫu h́nh tổ chức của hết
thảy mọi hệ thống sống (living systems) thường gọi là mạng lưới sống cũng
đột khởi như vậy. Mạng lưới sống là một hiện tượng chuyển hóa tự xúc tác
(autocatalytic metabolism), một mạng phản ứng tự duy tŕ, một xuất hiện
tánh (emergent property), đồng thời câu khởi như một chuyển tiếp pha khi
tánh phức hợp của mạng các hóa chất trước thời sinh vật và tương giao phản
ứng giữa chúng đạt mức tới hạn. Mạng lưới sống xuất hiện phức hợp và hoàn
chỉnh, tiếp tục y nhiên phức hợp và hoàn chỉnh.
(xem phần hai)
|