HongDuong - LuoiTuongGiao

Lưới Tương Giao
Hồng Dương

(I)
Mạng lưới ngẫu duyên.

Chắc ai cũng có lần chứng kiến một em bé ngồi khóc vì đã lỡ tháo đồ chơi ra từng bộ phận rồi sau đó không thể lắp lại nguyên vẹn như cũ. Hiện giờ, các nhà khoa học cũng ở trong tình trạng giống hệt. Với trí sai biệt, suốt ba thế kỷ qua, tốn hao vô kể tiền tài và công sức, họ tiếp tay nhau phân xẻ vũ trụ thành mảnh, cuối cùng đến nay lâm vào ngõ cụt, không thấy manh mối làm thế nào để tiến phát, ngoại trừ tiếp tục “đếm lên”, phân tán nhỏ thêm các mảnh.

Lực dẫn khởi mọi công trình nghiên cứu khoa học trong thế kỷ 20 là nguyên lý quy giảm (Principle of reductionism). Theo nguyên lý này, muốn thông hiểu thiên nhiên thời phải khai phá các thành phần của thiên nhiên. Một khi thấu đạt thành phần, thời nắm bắt toàn thể sẽ không gặp khó khăn. Bởi thế nhiều thập niên qua quan điểm chung là muốn hiểu vũ trụ thời phải hiểu nguyên tử và các siêu sợi (superstring); muốn hiểu sự sống thời phải hiểu các phân tử; muốn hiểu tập tính con người thời phải hiểu các gen cá nhân. Các hệ thống phương trình vi phân tuyến tính của vật lý học cổ điển rất thích hợp với phép phân tích và tổng hợp như vậy. Có thể phân chúng ra từng phần, mỗi phần đem giải riêng biệt, cuối cùng hợp các lời giải riêng biệt thời có lời giải chung. Do đó, một hệ tuyến tính hoàn toàn bằng tổng các phần của nó.

Kinh nghiệm cho thấy càng đếm lên, càng sai biệt, thời mức phức hợp (complexity) càng gia tăng. Theo nghĩa toán học, phức hợp chẳng những có nghĩa là phi tuyến tính mà còn có nghĩa bao gồm vô lượng phần tử biến chuyển với nhiều số độ tự do (number of degrees of freedom). Nghĩa là, không thể sử dụng hệ tuyến tính mà phải dùng hệ thống phương trình vi phân phi tuyến tính (còn gọi là hệ động lực; dynamical systems) để mô tả sự tương tác giữa vô lượng phần tử của một hệ phức hợp. Toán học tánh phức hợp là toán hình học về các mẫu hình được phân tích trong khung tôpô do Poincaré khởi xướng, như quỹ đạo hấp dẫn kỳ dị (strange attractors), hình thể biến lập (fractals), chân dung pha (phase portraits), ... Ngoài ra, phải áp dụng cơ học thống kê (statistical mechanics) để tính phân bố xác suất trong chuyển động của vô lượng phần tử vì không thể mô tả đầy đủ chi tiết sự vận chuyển của từng cá thể phần tử. Cơ học thống kê cho phép thành lập những lý thuyết thâm sâu về trật tự thế giới vĩ mô, khám phá sự hiện hữu những tính chất thiết yếu của các hệ thống phức hợp mà không cần tìm hiểu chi tiết chính xác của những chuyển động ngẫu nhiên phức tạp và bất quy tắc ở mức vi mô.

Càng ngày càng đông khoa học gia công nhận không có hiện tượng hay biến cố nào hiện khởi độc lập riêng biệt. Họ khám phá nguồn gốc phát sinh tánh phức hợp chính là mạng lưới gồm các giao liên nối kết và quan hệ nhân quả giữa tất cả mọi sự mọi vật trong vũ trụ. Do đó họ tin rằng mạng lưới phức hợp có một cấu trúc rất chính xác và tề chỉnh cần được nghiên cứu tường tận vì liên quan mật thiết và ảnh hưởng sâu xa đời sống con người. Con người cùng với mọi sự mọi vật là những mắt lưới vừa là thành quả tác dụng của hết thảy các mắt lưới khác, vừa là nhân hữu lực dự phần cấu tạo, bồi dưỡng, phát triển, và vận chuyển toàn thể mạng lưới.

Trong những năm gần đây, nhờ sử dụng toán học biểu tượng những mạng lưới trừu xuất từ pháp giới trùng trùng duyên khởi, nhiều định luật toán học và nhiều mẫu hình có ý nghĩa được khám phá trong thế giới hiện tượng và trong các sinh hoạt xã hội. Do toán học, các nhà xã hội học, vật lý học, sinh học, và nhiều khoa học gia khác tìm thấy nhiều quan hệ bất ngờ giữa những sinh hoạt xã hội và tác dụng của nhiều hiện tượng tưởng như không liên can nhau: từ tế bào sống và hệ sinh thái toàn cầu (global ecosystems) đến Internet và não bộ người. Sự nhận biết những quan hệ này thuần túy phát xuất từ toán học mạng lưới, soi sáng một số vấn đề bấy lâu chưa được giải quyết trong nhiều ngành khoa học kể cả tâm lý học và xã hội học.

Toán gia Leonhard Euler được xem như là người khởi xướng toán học mạng lưới vào năm 1736, khi ông chứng minh không thể có một con đường chạy qua bảy chiếc cầu, mỗi cầu chỉ một lần, trên sông Pregel, thành phố Konigsberg. Một biểu đồ ông phác họa kèm theo phần luận chứng đã làm phát khởi cả một ngành toán học rộng lớn và rất quan trọng. Đó là thuyết biểu đồ (graph theory), cốt lõi của thuyết mạng lưới hiện nay.

Luận chứng của Euler tuy đơn giản và ưu mỹ, rất dễ hiểu ngay đối với người không chuyên toán, nhưng chính cái lối nhìn của ông mới thực sự làm nên lịch sử. Đối với ông, vùng bảy chiếc cầu ở Konigsberg hiện ra như một biểu đồ (graph), nghĩa là một tập hợp gồm nút (nodes) nối lại với nhau bởi những đường dây nối nút (links).

Các nút biểu diễn bốn vùng đất bị sông chia cách, đặt tên là A, B, C, và D. Các đường dây nối nút là những chiếc cầu nối kết các vùng ấy với nhau. Lý do không có đường nào đi qua tất cả bảy chiếc cầu mỗi cầu chỉ một lần là vì nút nào có một số lẻ đường dây nối thời nút đó phải là điểm khởi đầu hay điểm cuối cùng của hành trình. Một con đường liên tục đi qua hết thảy bảy chiếc cầu chỉ có thể có một điểm khởi đầu và một điểm cuối cùng. Như thế, con đường này không thể hiện hữu trong một biểu đồ có nhiều hơn hai nút với một số lẻ đường dây nối. Vì biểu đồ Konigsberg có bốn nút với một số lẻ đường dây nối cho nên không thể tìm ra con đường nói trên.

Nên lưu ý sự hiện hữu của con đường nói trên không tùy thuộc trí thông minh suy lý của con người mà thật ra là một tính chất của biểu đồ. Với cách bố trí các chiếc cầu như ở Konigsberg hồi đó, dẫu tài giỏi đến đâu ta cũng không tìm ra được con đường nói trên. Dân chúng thành phố Konigsberg đồng ý với Euler không còn thắc mắc về sự hiện hữu của một con đường như vậy nữa và đến năm 1875 xây thêm một cầu mới nối liền B và C, gia tăng số đường dây nối ở B và C lên thành bốn. Do đó chỉ còn lại hai nút, A và D, với một số lẻ đường dây nối, trở thành điểm khởi đầu và điểm kết thúc một hành trình qua tám chiếc cầu, mỗi cầu chỉ đi qua một lần mà thôi.

Tóm lại, câu chuyện trên chỉ cho thấy trong cấu trúc của các biểu đồ hay mạng lưới ẩn khuất những tính chất mà tác dụng có thể hạn chế hay tăng gia khả năng giao liên tác động của chúng ta với chúng. Cấu trúc luôn luôn ảnh hưởng trên tác dụng, chẳng hạn địa hình các mạng lưới xã hội ảnh hưởng sự loan truyền tin tức hay lan tràn các bịnh truyền nhiễm. Một trường hợp địa hình mạng lưới các trạm phát điện ảnh hưởng đến tánh bền vững của sự truyền dẫn điện: Ngày 10 tháng tám, 1996, một lỗi lầm trên hai đường dẫn điện ở Oregon, Hoa kỳ, làm phát khởi một dãy hỏng máy điện qua các trạm phát như dòng thác đổ, tắt điện trong 11 tiểu bang ở Hoa kỳ và 2 tỉnh ở Gia nã đại, hơn 7 triệu nhà không điện suốt 16 tiếng đồng hồ. Một thí dụ khác về ảnh hưởng của cấu trúc mạng lưới trên tác dụng: Ngày 4 tháng năm, 2000, con sâu Love Bug, một chương trình phá hoại máy tính tồi tệ nhất chưa từng thấy, bò lan khắp thế giới qua Internet gây thiệt hại hàng tỉ Mỹ kim.
Bởi thế nghiên cứu sự hình thành cấu trúc của mạng lưới là then chốt để thông hiểu thế giới phức hợp quanh ta. Chỉ cần một vài thay đổi nhỏ trên các nút hay đường dây nối nút cũng đủ phát khởi nhiều khả năng mới từ sau những cánh cửa ẩn kín. Hiện nay hết thảy mọi ngành khoa học nghiên cứu hệ thống phức hợp đã bắt đầu quan tâm khảo sát sự hình thành và biến chuyển cấu trúc và động lực của các mạng lưới tương giao.

Ban đầu, các nhà toán học chỉ chú tâm khám phá và sắp hạng các loại mạng lưới. Thí dụ: các mạng do nguyên tử tạo thành trong một tinh thể hay các mạng lục giác do ong thiết lập làm tổ là những mạng lưới có sắp đặt (ordered graphs). Nhưng về sau, vấn đề đặt ra là các mạng hiện khởi như thế nào? Những định luật nào qui định địa hình, tướng dạng, và cấu trúc của chúng? Phải đợi đến thập niên giữa thế kỷ 20, các vấn đề ấy mới được giải quyết lần đầu tiên do bởi công trình xây dựng thuyết mạng lưới ngẫu duyên (random networks) của hai nhà toán học Hungary, Paul Erdos và Alfréd Rényi.

Hãy tưởng tượng tổ chức một buổi tiệc gồm khoảng một trăm thực khách. Họ được chọn và mời là vì họ không quen biết bất kỳ ai trong danh sách những người được mời dự tiệc. Khi rượu thịt dọn ra thời bầu không khí xa lạ giữa họ đổi hẳn. Họ bắt đầu trò chuyện, làm quen với nhau. Không bao lâu, có chừng từ ba mươi đến bốn mươi nhóm họp thành, mỗi nhóm gồm độ hai hay ba người. Bây giờ đến kề tai một thực khách nói cho người này hay rằng rượu chát đỏ đựng trong những chai màu lục đậm không dán nhãn hiệu là thứ rượu rất quý và trăm lần ngon hơn rượu đựng trong những chai có dán nhãn hiệu màu đỏ. Và yêu cầu vị thực khách đó truyền tin này đến chỉ những người mà vị ấy mới làm quen mà thôi. Chớ vội nghĩ rằng làm như thế thời chỉ có thêm hai hay ba người nữa biết tin rượu quý cất ở đâu. Thực ra, khách thường chán nói chuyện với một người và hay di chuyển nhập vào nhóm khác. Có những nối kết xã hội giữa hai thực khách vừa gặp nhau trước đó nay ở trong hai nhóm khác nhau. Kết quả là nhiều đường dây rất tinh tế bắt đầu nối kết những người đang còn xa lạ. Chẳng hạn, Ất chưa bao giờ gặp Giáp tuy cả Giáp và Ất đều quen Bính, như vậy tức có đường dây nối kết Ất và Giáp qua Bính. Nếu Ất biết cái tin về rượu quý thời bây giờ Giáp cũng có cơ may biết đến, vì do Bính nghe Ất nói rồi thuật lại. Với thời gian trôi qua, các thực khách càng lúc càng vướng mắc nhau qua những nối kết không thể xúc mạc tạo thành một mạng lưới quen biết tinh vi bao gồm một số khá lớn thực khách. Giả thiết mỗi thực khách chuyển tin rượu quý cho tất cả những người mình mới quen, thử hỏi trước khi tan tiệc tin ấy có lan truyền khắp đủ mọi người dự tiệc hay không? Theo Erdos và Rényi, chỉ cần ba mươi phút là đủ thời giờ để hình thành một mạng lưới nối kết xã hội vô hình bao gồm hết thảy thực khách của buổi tiệc. Nghĩa là, nếu mỗi thực khách làm quen với ít nhất một người, thời trong thoáng chốc tất cả đều biết tin và tìm đến cạn hết những chai rượu quý.

Thực khách trong buổi tiệc là nút và mỗi gặp gỡ giữa hai thực khách là một đường dây nối nút xã hội. Xuất hiện với một số nút kết nhau qua những đường dây nối nút, mạng lưới quen biết là một biểu đồ. Để tìm hiểu bí ẩn của những mạng lưới lẫn xen vào cuộc sống hằng ngày của chúng ta, các khoa học gia tìm cách triển khai thuyết biểu đồ, thường gọi là thuyết mạng lưới (network theory), đặt trọng tâm nghiên cứu vào những mẫu hình tương giao tác dụng giữa những cá thể. Máy tính kết nhau qua dây điện thoại, phân tử trong cơ thể kết nhau qua tác dụng sinh hóa, công ty và người tiêu thụ kết nhau qua giao dịch, tế bào thần kinh kết nhau qua sợi trục (axon), máy phát điện kết nhau qua đường dây cao thế, đảo kết nhau qua chiếc cầu, tất cả là những thí dụ biểu đồ. Một nhà chuyên khảo mạng lưới khi nhìn vào bất cứ hệ thống thành phần kết liên nào sẽ hình dung nó như là một mẫu hình trừu tượng, một biểu đồ, gồm nút kết nhau qua những đường dây nối nút. Họ không quan tâm đến gốc tích và thể tánh cá biệt của các nút mà chỉ chú trọng đến mẫu hình và cấu trúc của mạng lưới các quan hệ, nhằm tìm cách khám phá tánh đồng nhất của một số nhiều mạng lưới. Nói theo Phật giáo, những mẫu hình và cấu trúc họ quán sát là những mạng trừu xuất từ mạng lưới bao la pháp giới trùng trùng duyên khởi.
Vấn đề đơn giản hóa các mạng lưới thành những biểu đồ gặp nhiều khó khăn thách đố. Tuy xã hội, Internet, tế bào, hay não bộ tất cả đều có thể tượng hình bằng biểu đồ, nhưng biểu đồ của chúng đâu có giống nhau! Khó mà tưởng tượng một sự dung hợp giữa một bên là xã hội con người, trong đó sự làm quen và tìm bạn là do phối hợp những cuộc gặp gỡ ngẫu nhiên với những quyết định có ý thức, và một bên là tế bào, trong đó các định luật nhân quả tất yếu hóa học và vật lý học chi phối hết thảy mọi tương tác phản ứng giữa các phân tử. Chắc chắn có sự sai biệt giữa các qui luật cai quản cách phối trí các đường dây nối nút trong những mạng lưới khác nhau. Vì mục đích của mọi khảo sát khoa học là phát hiện cách giải thích đơn giản nhất để cắt nghĩa những hiện tượng vô cùng phức tạp, cho nên các khoa học gia nỗ lực phát minh một mô hình chung để miêu tả tất cả những mạng lưới phức hợp khác nhau.

Một lời giải toán học ưu mỹ miêu tả tất cả mọi biểu đồ phức hợp cùng trong một khung ý niệm đã được Erdos và Rényi đề nghị. Nhận thấy các hệ thống khác nhau tùy thuận những luật tắc dị biệt qui định sự hình thành cấu trúc của chúng, Erdos và Rényi quyết định gạt bỏ mọi bất đồng và chọn một giả thiết hết sức đơn giản là các nút nối kết nhau một cách ngẫu nhiên. Như vậy dưới mắt của hai nhà toán học Hungary, biểu đồ và thế giới biểu tượng đều có bản tính ngẫu nhiên, hoàn toàn ngược lại với quan điểm của Albert Einstein (bạn thân của Erdos) cho rằng “Thượng đế không chơi súc sắc với vũ trụ (God does not play dice with the universe).” Nói cách khác, mọi mạng lưới trừu xuất từ pháp giới duyên khởi không hình thành do ngẫu duyên, mà thường do một số định luật cơ bản xác định và điều khiển.

Hãy trở lại câu chuyện buổi tiệc và tìm hiểu đặc tính của mạng lưới ngẫu duyên. Ban đầu, biểu đồ gồm một số lớn nút cô lập. Sau đó các nút được nối kết bởi những đường dây ngẫu duyên phỏng theo sự gặp gỡ tình cờ giữa các thực khách. Khi một số đường dây nối kết được kẻ thêm, các nút sẽ kết thành nhiều cặp. Tiếp tục thêm nữa thời không làm sao tránh khỏi nối kết các cặp nút ấy lại với nhau tạo thành những quần tụ (cluster) tập trung nhiều nút. Nếu kẻ thêm đến chừng mỗi nút có trung bình một đường dây nối, thời đột nhiên hiện khởi một quần tụ khổng lồ duy nhất. Nghĩa là, hầu hết mọi nút trở nên thành phần của một quần tụ đơn nhất, từ bất kỳ nút nào làm khởi điểm ta có thể di chuyển đến một nút khác thông qua những đường dây nối nút. Đó là lúc tin đồn về rượu quý có thể lọt đến tai của bất cứ thực khách nào trong buổi tiệc. Hiện tượng đó là sự xuất khởi (emergence) một bộ phận khổng lồ gồm đa số nút đối với các toán gia, là một sự ngấm lọc (percolation) dẫn khởi một chuyển tiếp pha (phase transition) đối với các nhà vật lý học, là sự hình thành một cộng đồng đối với các nhà xã hội học. Mặc dầu ngành khác nhau đặt tên khác nhau, nhưng tất cả đồng ý rằng khi chọn ngẫu nhiên nút trong một mạng lưới để nối kết thành cặp thời một biến chuyển lớn đột khởi khi số đường dây nối kết đạt trị tới hạn. Trước đó, các nút nối kết họp thành quần tụ nhỏ cô lập, thực khách gặp gỡ quen biết trong vòng nhóm nhỏ rời rạc. Sau đó, xuất hiện một quần tụ khổng lồ với sự tham dự của hầu hết thực khách.

Mỗi người trên quả đất là thành phần của một mạng lưới rộng lớn, mạng lưới xã hội thế giới hay mạng lưới nhân loại. Không một ai bị gạt bỏ ra ngoài. Giữa hai người bất cứ ở đâu trên quả đất dẫu không quen biết nhau vẫn có một đường dây nối kết họ lại với nhau. Cũng vậy, có một đường dây nối kết bất cứ hai neuron (tế bào thần kinh) nào trong não bộ, bất cứ hai công ty nào trên thế giới, bất cứ hai hóa chất nào trong thân thể con người. Paul Erdos và Alfréd Rényi giải thích điều kiện nối kết với bất cứ nút nào khác trong mạng là mỗi và mọi nút chỉ cần có một đường dây nối. Cá nhân làm quen ít nhất một người, neuron có ít nhất một đường dây nối với một neuron khác, hóa chất có khả năng tham gia ít nhất một phản ứng trong thân thể con người, công ty giao dịch với ít nhất một công ty khác. Một là ngưỡng (threshold) nối kết. Toàn mạng sẽ phân tán thành nhiều quần tụ nhỏ rời nhau nếu các nút có trung bình ít thua một đường dây nối; nếu có trung bình nhiều hơn một đường dây nối thời cơ nguy mạng lưới phân tán có thể tránh được.

Trong thực tế, các nút thường có nhiều hơn một đường dây nối. Các nhà xã hội học ước lượng mỗi chúng ta quen biết tên họ độ chừng từ 200 đến 5 000 người. Trung bình một neuron nối kết với hàng tá, có khi với cả ngàn neuron khác. Mỗi công ty nối kết với hàng trăm hãng cung cấp và khách hàng, nhiều công ty lớn nối kết với hàng triệu. Trong thân thể con người, hầu hết các phân tử tham gia một số rất nhiều phản ứng, như nước chẳng hạn, tham gia đến hàng trăm phản ứng. Theo thuyết mạng lưới ngẫu duyên khi số trung bình đường dây nối của mỗi nút tăng quá trị tới hạn, số nút bị gạt bỏ ra ngoài quần tụ khổng lồ sẽ giảm bớt theo hàm số mũ. Nghĩa là, thêm càng nhiều đường dây nối thời càng khó tìm ra những nút cô lập. Như thế các mạng lưới quanh ta rất dày đặc, không nút nào thoát khỏi, trong đó mỗi nút nối kết với mọi nút.

Trước Erdos và Rényi, tiêu điểm của thuyết biểu đồ không phải là các buổi tiệc, các mạng xã hội, hay các mạng lưới ngẫu duyên, mà hoàn toàn là các biểu đồ tuần quy (regular graphs; ordered graphs; biểu đồ có sắp đặt) có cấu trúc xác định. Đặc tính của biểu đồ tuần quy là nút nào cũng có một số đường dây nối kết giống nhau. Thí dụ trong một mạng lưới phẳng ô vuông do các đường trực giao tạo thành, nút nào cũng có bốn đường dây nối. Hoặc trong mạng lưới lục giác tổ ong, nút nào cũng có ba đường dây nối. Tánh tuần quy đó không tìm thấy trong những mạng phức hợp hiện hữu như Internet hay tế bào.
Erdos và Rényi là những người đầu tiên khám phá, từ những mạng lưới xã hội đến những mạng dây điện thoại, hầu hết những biểu đồ trong thực tế đều không có tánh tuần quy và vô cùng phức tạp. Đứng trước bức tường phức hợp khó vượt qua, hai ông thấy chỉ có cách duy nhất là giả thiết mạng lưới hình thành ngẫu nhiên. Hai ông mở rộng cửa toán học cho thấy một thế giới mới, một thế giới bình đẳng. Vì các đường dây được thiết lập hoàn toàn ngẫu nhiên, nên mọi nút có cơ hội đồng đều tiếp nhận một đường nối. Tuy nhiên, chớ tưởng lầm do ngẫu duyên mà có nút tiếp nhận rất nhiều đường dây nối và có nút quá rủi ro không tiếp nhận được đường nối nào cả. Cái thế giới ngẫu duyên hai ông đề xướng tuồng như có tính cách vừa bất công vừa độ lượng. Thật ra không phải vậy. Nếu là một mạng lưới rộng lớn thời mặc dầu các đường dây nối thiết lập ngẫu nhiên, nút nào cũng tiếp nhận một số xấp xỉ như nhau.

Để thấy được điều đó, hãy phỏng vấn các thực khách sau buổi tiệc, hỏi mỗi thực khách làm quen được bao nhiêu người tất cả. Rồi vẽ một tuyến đồ (histogram) biểu diễn bao nhiêu thực khách làm quen k (k=1, 2, ... ) người trong suốt buổi tiệc.

Mô dạng của tuyến đồ được chứng minh là một phân bố Poisson [do Béla Bollobhás, một môn sinh của Erdos, giáo sư tại Đại học Trinity College, Anh quốc, 1982]. Nghĩa là có một chóp đỉnh nổi bật chỉ cho thấy đa số nút đều tiếp nhận một số đường nối gần bằng số đường nối của nút trung bình. Hai bên chóp đỉnh, sự phân bố giảm xuống rất nhanh, cho thấy không có nhiều nút lệch xa nút trung bình.

Nếu áp dụng phân bố Poisson vào một xã hội 6 tỉ người thời kết quả là số bạn bè quen thuộc của mỗi người trong đa số chúng ta xấp xỉ bằng nhau. Như vậy, nếu ghép ngẫu nhiên những đường dây nối kết xã hội, thuyết mạng lưới ngẫu duyên dự đoán tiến tới một xã hội “dân chủ” trong đó tất cả chúng ta ai cũng là trung bình và rất ít kẻ lệch xa chuẩn (norm) để trở thành quá xã giao hay vô cùng cô lánh. Mạng lưới ngẫu duyên, một mạng lưới tương đồng với trung bình là chuẩn, quả là một mạng tương giao lý tưởng.
Mãi đến gần đây để mô tả vũ trụ các tương giao, hầu hết toán gia không tìm thấy cách gì khác hơn là đồng ý với Erdos và Rényi giả thiết các mạng phức hợp hình thành trên cơ sở ngẫu duyên: các mạng phức hợp là những mạng lưới ngẫu duyên. Thuyết mạng lưới ngẫu duyên được xem như phát minh vào năm 1959 khi Paul Erdos đề nghị lời giải bài toán rất nổi tiếng của thuyết biểu đồ, bài toán tìm số đường dây nối bé nhất nối kết các nút của một biểu đồ để bất kỳ hai nút nào cũng được nối nhau.

Tưởng cần nhắc lại đây một số định nghĩa và kết quả quan trọng của toán mạng lưới. Toán mạng lưới sử dụng tỉ số m/N để tiêu biểu một mạng lưới gồm N nút và m đường dây nối, mỗi đường nối hai nút. Số đường dây nối dính vào một nút gọi là độ của nút ấy. Để tính mỗi nút trung bình có bao nhiêu đường dây nối, hãy cọng độ của tất cả nút, rồi đem chia cho tổng số nút kể cả những nút không có đường dây nối. Gọi k là số trung bình đường dây nối tại mỗi nút, ta có k = 2m/N; k gọi là độ trung bình. Erdos và Rényi chứng minh một định lý nổi tiếng nay được gọi là định lý Erdos-Rényi: “Xác suất xuất hiện của một bộ phận khổng lồ đơn nhất gồm hầu hết mọi nút của mạng nhảy vọt từ 0 đến 1 khi tăng tỉ số tiêu biểu m/N quá trị tới hạn 0.5.” Tại điểm này, k = 1. Theo Erdos và Rényi, k = 1 là ngưỡng nối kết, nghĩa là mỗi và mọi nút chỉ cần có 1 đường dây nối thời sẽ nối với bất kỳ nút nào khác trong mạng. Một dạng khác của định lý Erdos-Rényi: “Khi số đường dây nối ngẫu nhiên m lớn hơn hay bằng (N/2)ln(N) với ln(N) là logarit tự nhiên của N, hay k ³ ln(N), thời “hầu hết mọi” mạng lưới ngẫu duyên đều hoàn toàn nối kết.”

Giả thiết biểu đồ có 50 nút, mỗi nút là một thành phố chẳng hạn. Nếu không tính toán, nhắm mắt nối mỗi thành phố với 49 thành phố kia thời phải xây 1 225 đường. Nhưng theo Erdos, nếu nối một cách ngẫu nhiên thời chỉ cần xây độ chừng 98 đường, nghĩa là 8 phần trăm số 1 225 đường, là đủ để nối kết hầu hết các thành phố với nhau. Erdos khám phá số nút dẫu lớn bao nhiêu, chỉ cần một tỷ lệ phần trăm nhỏ các đường dây nối ngẫu nhiên cũng đủ thắt nối kết hợp mạng lưới thành một toàn thể. Tỷ lệ phần trăm ấy giảm thiểu rất nhanh khi mạng lưới bành trướng rộng lớn thêm. [Công thức toán của tỷ lệ ấy là ln(N)/N]. Thí dụ: với 300 nút, trong số gần 50 000 đường có thể nối chúng, chỉ cần 2 phần trăm là đủ. Với 1 000 nút, tỷ lệ ấy bé thua 1 phần trăm. Với 10 triệu nút, tỷ lệ là 0.0000016.
Trở lại với mạng lưới xã hội 6 tỉ người trên mặt đất, thử hỏi số bạn bè quen thuộc của mỗi người trung bình là bao nhiêu để hai người, bất kỳ là ai, bất cứ ở đâu, một làm nghề đánh cá ở Bắc cực, một làm thủ tướng ở Úc chẳng hạn, nối kết nhau? Theo Erdos và Rényi, tỷ lệ là 4 phần tỉ. Nghĩa là, trung bình mỗi người chỉ cần quen biết 24 người là đủ để bất kỳ hai người nào trên mặt đất nối kết nhau.

Sau đây là một thí nghiệm mô phỏng bài toán mạng lưới ngẫu duyên của Erdos và Rényi. Tưởng tượng vung vãi một số nút áo trên nền nhà. Chọn một cách ngẫu nhiên hai nút và nối chúng bằng một sợi dây. Lại chọn ngẫu nhiên hai nút nữa và nối chúng bằng một sợi dây khác. Lúc đầu những nút được chọn không thuộc cặp nào đã nối trước đó. Nhưng về sau thế nào cũng chọn nhằm một nút đã kết cặp để nối vào một nút khác, tạo thành một quần tụ ba nút. Nếu tiếp tục nối các cặp nút ngẫu nhiên như thế, thời một lúc sau, các nút nối với nhau bắt đầu trở thành một quần tụ rộng lớn. Trong thời gian thí nghiệm, lâu lâu thử nhấc lên một nút bất kỳ và đếm xem có bao nhiêu nút khác cùng nhấc theo. Tất cả nút cùng nhấc theo đó tạo thành cái gọi là một bộ phận của mạng lưới ngẫu duyên. Cuối cùng, có những nút không nối với nút nào, trong khi số lớn nối thành cặp, thành bộ ba, hay quần tụ lớn.

Khi tỉ số tiêu biểu vượt quá 0.5 thời một chuyển tiếp pha phát khởi, một quần tụ khổng lồ đột nhiên xuất hiện. Chẳng hạn, nếu số nút n=10 000, bộ phận khổng lồ sẽ đột khởi khi số đường dây nối đạt mức vào khoảng m=5 000. Lúc bộ phận khổng lồ phát hiện, hầu hết mọi nút hoặc trực tiếp hoặc gián tiếp nối lại với nhau. Nếu nhấc lên một nút, sẽ có cơ may nhấc theo một loạt độ chừng 8 000 trong số 10 000 nút. Số đường dây nối càng tăng thời số nút lẻ loi còn lại và số quần tụ riêng biệt càng giảm thiểu vì nối nhau sáp nhập và bành trướng bộ phận khổng lồ.

Trên đây là đường biểu diễn chuyển tiếp pha của một mạng lưới ngẫu duyên có 400 nút. Đường có dạng chữ S. Số nút trong quần tụ lớn nhất lúc đầu tăng chậm, rồi tăng rất nhanh, rồi tăng chậm lại, tương ứng với sự tăng của tỉ số tiêu biểu m/n. Sự tăng rất nhanh là dấu chỉ của hiện tượng chuyển tiếp pha. Đường biểu diễn vọt cao lên với độ giốc gần thẳng đứng khi tỉ số tiêu biểu vượt qua trị 0.5. Độ giốc đứng tại trị tới hạn 0.5 tùy thuộc tổng số nút của mạng lưới. Khi số nút bé thời phần giốc đứng của đường biểu diễn “cạn”, nhưng khi số nút tăng, chẳng hạn từ 400 đến 100 triệu, thời phần giốc đứng dựng đứng thẳng hơn. Ví như số nút tăng đến vô cực, thời khi tỉ số tiêu biểu vượt qua trị tới hạn 0.5, độ lớn của bộ phận lớn nhất của mạng lưới nhảy vọt một cách gián đoạn từ bé tí đến khổng lồ. Hiện tượng đột khởi được xem như là một chuyển tiếp pha, giống trường hợp vô lượng phân tử nước đột nhiên đóng băng thành nước đá khi nhiệt độ vừa giảm thấp dưới 0 độ bách phân.

Định lý Erdos-Rényi hết sức lợi ích trong sự tìm hiểu và chế ngự các hiện tượng phức hợp như tánh bền vững của hệ sinh thái, động lực tính của thị trường, và tổ chức phản ứng của hệ miễn dịch. Kết quả quan trọng của định lý là khi tỉ số tiêu biểu m/n vượt quá 0.5, rất nhiều nút bỗng nhiên được nối với nhau tạo thành một mạng rộng lớn trong hệ thống. Sự đột khởi một bộ phận khổng lồ như vậy không có gì là huyền bí mà chỉ là một tính chất tự nhiên và tất yếu của mạng lưới ngẫu duyên. Theo Stuart Kaufman, nhà nghiên cứu nổi tiếng về nguồn gốc của sự sống, mẫu hình tổ chức của hết thảy mọi hệ thống sống (living systems) thường gọi là mạng lưới sống cũng đột khởi như vậy. Mạng lưới sống là một hiện tượng chuyển hóa tự xúc tác (autocatalytic metabolism), một mạng phản ứng tự duy trì, một xuất hiện tánh (emergent property), đồng thời câu khởi như một chuyển tiếp pha khi tánh phức hợp của mạng các hóa chất trước thời sinh vật và tương giao phản ứng giữa chúng đạt mức tới hạn. Mạng lưới sống xuất hiện phức hợp và hoàn chỉnh, tiếp tục y nhiên phức hợp và hoàn chỉnh.

(xem phần hai)